Đề cương ôn tập học kỳ 2 toán 10

04/05/2009

sach moXem và tải tại đây


Bài tập chương 6

07/04/2009

Chứng minh một đẳng thức lượng giác

Công thức cơ bản cần nhớ:

sin^2x + cos^2x = 1

tanx = \frac{sinx}{cosx}

cotx = \frac{cosx}{sinx}

tanx. cotx = 1

1 + tan^2x = \frac{1}{cos^2x}

1 + cot^2x = \frac{1}{sin^2x}

Cách nhớ: nhiều bạn k nhớ khi nào là \frac{1}{sin^2x} lúc nào là \frac{1}{cos^2x} thì có thể nhớ như sau: tanx có mẫu là cosx nên vế phải sẽ là \frac{1}{cos^2x}, tượng tự cho cotx, có mẫu là sinx nên vế phải là \frac{1}{sin^2x}

Lời khuyên: khi chứng minh đẳng thức lượng giác bạn phải biết nên bắt đầu từ vế nào? thông thường ta nên bắt đầu từ vế phức tạp hơn. Trong quá trình làm, phải luôn xem vế cần biến đổi đến có những gì? mình cần làm gì thêm? để có hướng sử dụng công thức thích hợp vì lượng giác có rất nhiều công thức.

bài 1. CMR tan^2x - sin^2x = tan^2x sin^2x

CM

VT = tan^2x - sin^2x = \frac{sin^2x}{ cos^2x} - sin^2x

= sin^2x \left(\frac{1}{cos^2x} - 1\right)

= sin^2x \left(\frac{1 - cos^2x}{cos^2x}\right)

= sin^2x \left(\frac{sin^2x}{cos^2x}\right)

= sin^2x tan^2x = VP(đpcm)

2. Chứng minh rằng \frac{cos\alpha}{1 + sin\alpha} + tan\alpha = \frac{1}{cos\alpha}

Suy nghĩ: chắc chắn ta sẽ đi từ Vt sang VP. và theo bạn ta nên sử dụng công thức nào? ở đây ta nhận thấy VP không hề có tan, nhưng vậy bước đầu tiên là phải chuyển tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} sau đó quy đồng. Cứ làm đã rồi tính tiếp.

VT = \frac{cos\alpha}{1 + sin\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha}

 = \frac{cos^2\alpha  + sin\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{cos^2\alpha  + sin^2\alpha+sin\alpha}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{1 + sin\alpha}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{1}{cos\alpha}(đpcm)

3. Các bài ngòai đề cương( làm thêm). CMR

a. \frac{tanx - sinx}{sin^3x} = \frac{1}{cosx\left(1 +cosx\right)}

b. \frac{1 + cosx}{1 - cosx} -  \frac{1 - cosx}{ 1 + cosx} = \frac{4cosx}{sin^2x}


On thi kì 1 toán 10

07/04/2009

ôn tập Toán 10.

Dạng bài Bài 1 – giải phương trình có chứa Giá trị tuyệt đối.

Giải phương trình \frac {4x^{2} + 2x + |2x + 1|}{4x + 3} = 2x + 1
Điều kiện: 4x + 3  \neq 0
Với điều kiện trên phương trình tương đương với:
4x^{2} + 2x +|2x + 1| = (2x + 1)(4x+3)
\Leftrightarrow |2x + 1| = (2x+1)(4x+3) - 4x^{2} - 2x
\Leftrightarrow |2x + 1| = 8x^{2} + 10x + 3 - 4x^{2} - 2x
\Leftrightarrow |2x + 1| = 4x^{2} + 8x + 3
* Trường hợp 1: Nếu 2x + 1 > 0  \Leftrightarrow x\ge  \frac{-1}{2}
Phương trình thành:2x + 1 =  4x^{2} + 8x + 3
\Leftrightarrow 4x^{2} + 6x + 2  = 0
\Leftrightarrow x_1 = -1 (loại) ;  x_2  = - \frac{1}{2}.
*Trường hợp 2: Nếu 2x + 1 < 0  \Leftrightarrow x <  \frac{-1}{2}
Phương trình thành:-2x - 1 = 4x^{2} + 8x + 3
\Leftrightarrow 4x^{2} + 10x + 4= 0
\Leftrightarrow x_1 = -2 ; x_2  = - \frac{1}{2}(loại)
kết luận: phương trình có hai nghiệm x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = - 2.

Các bài toán cùng dạng và phương pháp giải:

Giải các phương trình sau đây:

1. |x^{2} + 2x - 5|= 2x - 1

Chúng ta không nên sử dụng phương pháp định nghĩa ở trên vì chưa học đến dấu của tam thức bậc hai. Ở đây nên sử dụng công thức sau đây:

- |A| = B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{B \ge 0}\\{\left[\begin{array}{c}{A=B}\\{A=-B}\end{array}\right.}\end{array} \right.

Sử dụng công thức trên ta sẽ có cách giải sau đây:

|x^{2} + 2x - 5|= 2x - 1

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{2x - 1 \ge 0}\\{\left[\begin{array}{c}{x^{2} + 2x - 5 = 2x - 1}\\{x^{2} + 2x - 5 = -2x + 1}\end{array}\right.}\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{2x - 1 \ge 0}\\{\left[\begin{array}{c}{x^{2} - 4 = 0}\\{x^{2} + 4x -6=0}\end{array}\right.}\end{array} \right.

Tới đây thì không khó khăn gì để giải nữa rồi. giải từng phương trình và so sánh với điều kiện 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}

2. |x+1| = x^{2} + x - 5

bài này lại phải sử dụng định nghĩa vì không nên sử dụng việc xét dấu hàm bậc hai.

Kiểm tra lại, có hai trườgn hợp của x tương ứng với hai phương trình như sau:

* nếu x \ge - 1

\Leftrightarrow x^2 - 6 = 0

* nếu x < - 1

\Leftrightarrow x^{2} +2x -  4 = 0

Tự giải tiếp.

3. |4x^{2} - 4x - 3| =|x^{2} - 2x + 4|

Coi chừng nhầm lẫn với hai dạng kia , |A| = |B|, rất đơn giản chỉ cần cho \left[\begin{array}{c}{A=B}\\{A=-B}\end{array}\right. là xong.

4. |x^2 - 2x - 5| = 2x - 1

Giải bằng định nghĩa.

5. \frac{x^{2} - 2x }{x+1} = |2x- 3|

CHÚ Ý BÀI NÀY PHẢI ĐẶT ĐIỀU KIỆN CHO MẪU KHÁC 0. .

Điều kiện  x  + 1 \ne  0 \Leftrightarrow  x \ne - 1.

Với điều kiện trên phương trình tương đương với:

x^2 - 2x = |2x- 3|(x+1) .

Tới đây chia làm 2 trường hợp của căn như dạng 1( dùng định nghĩa)

* nếu 2x - 3\ge 0

pt \Leftrightarrow x^{2} - 2x = (2x-3)(x+1)

tự giải tiếp nhé, NhỚĐIỀU KIỆN.

* nếu 2x - 3\ge 0

pt \Leftrightarrow x^{2} - 2x = (- 2x+3)(x+1). Khai triển và tiếp tục giải.

Dạng toán 2. Giải phương trình có chứa căn thức

Có 2 dạng chính:

- \sqrt{A} = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} { A = B^{2}}\\{B \ge 0 }\end{array} \right.

- \sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {A = B} \\{A \ge 0 (  B \ge 0)} \end{array}\right.

Các Bài toán trong đề cương và hướng dẫn giải.

1. \frac{\sqrt{4x^{2} + 7x - 2}}{x+2} = \sqrt{2}

Phương pháp:

CÓ MẪU, ĐẶT ĐIỀU KIỆN CHO MẪU KHÁC 0

Điều kiện x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2

Với điều kiện trên:

pt \Leftrightarrow \sqrt{4x^2 + 7x - 2} = \sqrt{2}(x+2)

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{ x + 2 \ge 0 } \\{ 4x^{2} + 7x - 2 = [\sqrt{2}(x+2)]^{2}} \end{array}\right.

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{ x  \ge -2 }\\{ 4x^2 + 7x - 2 = 2x^2 + 8x + 8} \end{array}\right.

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{ x  \ge -2 } \\{ 2x^2 - x -10 =0} \end{array}\right.

tự giải ra nghiệm nhé, lưu ý, phải so sánh với điều kiện.

2. \sqrt{2x^{2} + 3x - 4} = \sqrt{7x + 2}

Bài này có dạng \sqrt{A} = \sqrt{B} nên ta sẽ làm như sau:

pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{7x + 2 \ge 0} \\{2x^{2} + 3x - 4 = 7x + 2} \end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{x  \ge -\frac{2}{7}} \\{2x^{2} - 4x - 6 = 0} \end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{x  \ge -\frac{2}{7}} \\{ x_1 = -1 \text{loại} ; x_2 = 3)} \end{array}\right.

Tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Các bạn lưu ý, trong phần phương pháp, tôi có để là A \ge 0 hoặc B \ge 0, có nghĩa là chỉ cần 1 trong 2 điều kiện là đủ, và ở bài này chúng ta lấy 7x + 2 \ge 0 là vì đây là hàm bậc nhất, dễ xét dấu. Xuyên suốt từ dạng giá trị tuyệt đối đến giờ tôi luôn nói, “Không nên xét dấu hàm bậc hai”, lưu ý nhé.

3. \sqrt{3x^{2} - 2x -1} = 3x + 1

Dạng 1 đấy.

4. 3x - \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 1

 \Leftrightarrow 3x - 1 = \sqrt{x^2 - 7x + 10}

 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 7x + 10}  = 3x - 1

Nó cũng là dạng 1 luôn.

5. 2x - \sqrt{4x - 9} = 5

Câu này có khó không nhỉ? chỉ cần biến đổi 2x - \sqrt{4x - 9} = 5 \Leftrightarrow 2x - 5 = \sqrt{4x - 9} là quay về dạng 1 rồi.

Dạng 3
Các bài toán liên quan đến việc giải và biện luận phương trình bậc nhất có chứa ẩn ở mẫu.

Nguyên tắc:
- Đặt điều kiện cho mẫu khác 0.
- Quy đồng và đưa những phần tử có chứa x về 1 vế, hệ số tự do về vế còn lại.
- Biện luận nghiệm và phải so sánh với điều kiện

bài 1. Giải và biện luận phương trình sau đây:
\frac{m}{x - 1} = \frac{1-m}{x+2}
Điều kiện \left\{\begin{array}{c}{ x \ne 1}\\{x \ne -2}\end{array}\right.
với điều kiện trên phươgn trình tương đương với:
m(x+2)  = (1-m)(x-1)
\Leftrightarrow mx+2m   = x - 1 - mx + m
\Leftrightarrow (2m - 1)x    = - m - 1
* Nếu 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}
pt 0x = -\frac{3}{2} nên vô nghiệm.
* Nếu 2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}
pt x = \frac{-m-1}{2m - 1}
Do điều kiện \left\{\begin{array}{c}{ x \ne 1}\\{x \ne -2}\end{array}\right. nên ta có:
-  \frac{-m-1}{2m - 1} \ne 1
\Leftrightarrow  - m - 1 \ne 2m - 1
\Leftrightarrow  m \ne 0
-  \frac{-m-1}{2m - 1} \ne -2
\Leftrightarrow  - m - 1 \ne -2(2m - 1)
\Leftrightarrow  - m - 1 \ne - 4m + 2
\Leftrightarrow  m \ne 1

Kết luận:
- vậy với \left[\begin{array}{c}{ m = \frac{1}{2}}\\{m = 0}\\{m=1}\end{array}\right. phương trình vô nghiệm.
- với \left\{\begin{array}{c}{ m\ne= \frac{1}{2}}\\{m \ne 0}\\{m \ne1}\end{array}\right.pt có nghiệm duy nhất x = \frac{-m-1}{2m - 1}

Các bài toán tương tự và hướng dẫn.

Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau đây theo tham số:

\frac{mx + 1}{x - 1} = 3

Nhớ đặt điều kiện và đưa phương trình về dạng sau đây:

(m -3)x = 4

tới đây thì các bước làm yhệt bài trên, nhớ là có điều kiện đấy.

Bài 2. \frac{(2m - 1)x + 2}{x - 2} = m + 1
Bài 3. \frac{(x + m}{x - 1} = \frac{x+2}{x+1}
____________________________________________________________________

Các bài toán liên quan đến định lý Viet

Các bước làm:

- Đặt điều kiện

- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng S,P ( nếu đối xứng) hoặc lập hệ phương trình để tìm cách giải m.

- So sánh lại với điều kiện.

 

Bài 1. Tìm m để f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m + 4 = 0 có hai nghiệm thỏa điều kiện: 8(x{_1} + x{_2})= 3x{_1}x{_2}

Giải

* để phương trình có hai nghiệm x_1 ; x_2 thì \left\{\begin{array}{c}{a \ne 0}\\{ \Delta \ge 0}\end{array}\right.

\Leftrightarrow  4m -12  \ge   0 \Leftrightarrow  m   \ge  3 (1)
Áp dụng định lý Viet ta có:
\left\{\begin{array}{c}{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m-1)}\\{x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - 3m + 4}\end{array}\right.
* Thay vào đẳng thức 8(x{_1} + x{_2})= 3x{_1}x{_2} ta được phương trình sau đây:
8. 2(m-1)= 3 (m^2 - 3m + 4)

\Leftrightarrow 3 m^2 - 25m + 28 = 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}{ m = 7}\\{m = \frac{4}{3}}\end{array}\right.

* Vậy so sánh với điều kiện(1) ta nhận thấy để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện thì $ m= 7$.

lưu ý: ba bước được đánh dấu * và ghi đậm, gạch chân ở trên tương ứng với 3 bước làmđã nêu trong phương pháp.

Đây là các bước làm với bài toán mà đề ra cho biểu thức dạng đối xứng. Đối với các bài không đối xứng phương pháp làm có một chút thay đổi. Ta hãy xem bài tập sau đây:

Bài 2. Tìm m để f(x) = mx^2 - 2(m+1)x + m -  4 = 0 có hai nghiệm thỏa điều kiện: x{_1} +4 x{_2}= 3

Với các bài toán kiểu này ta phải sử dụng định lý Viet và đẳng thức của bài để đưa ra một hệ phương trình gồm 3 ẩn ( m, x_1 , x_2 ). Giải hệ này ta có giá trị m cần tìm.

Giải

* để phương trình có hai nghiệm x_1 ; x_2 thì \left\{\begin{array}{c}{a \ne 0}\\{ \Delta \ge 0}\end{array}\right. —–> (giống bài trênđấy)

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{m \ne 0}\\{ 24m + 4 \ge 0}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{m \ne 0}\\{ m  \ge -\frac{1}{6}}\end{array}\right.

từ giả thiết và định lý Viet ta có hệ phương trình sau đây:

\left\{\begin{array}{c}{x_1 + x_2 = 2\frac{m+1}{m} \left(1\right) }\\{ x_1 x_2 = \frac{m-4}{m} \left(2\right) }\\{x_1 + 4x_2 = 3 \left(3\right) } \end{array}\right.

lấy (3) và (1) trừ cho nhau theo vế ta sẽ có

3x_2 = 3 - \frac{2m + 2}{m} = \frac{m-2}{m}

\Leftrightarrow x_2 =\frac{m-2}{3m}

Từ đó suy ra rằng  x_1 =  3 - 4x_2 = 3 - 4 \frac{m-2}{3m} = \frac{5m + 8}{3m}

Vậy thay vào (2) ta có phương trình sau đây:

\frac{5m + 8}{3m} . \frac{m -2}{3m} = \frac{m-4}{m}

Đến đây có nhiều bạn lầm tưởng mẫu chung là 3m nhưng thực ra mẫu chung là 9m^2 vì phép nhân x_1 .x_2

\Leftrightarrow (5m + 8)(m - 2) = 9m(m-4)

\Leftrightarrow 5 m^2  - 10m + 8m - 16 = 9m^2 - 36m

\Leftrightarrow -4m^2 + 34m -16 = 0

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{m_1 =8 }\\{m_2 = \frac{1}{2}}\end{array}\right. và so sánh vớiđiều kiện ta dễ thấy cả 2 nghiệmđều thỏa.

Các bài tương tự và hướng dân giải.

1. Tìm m để f(x) = (m+ 1)x^2 - 2(m-1)x + m -2 = 0 có hai nghiệm thỏa điều kiện: x{_1}^2  + x{_2}^2 =2.

lưu ý: x_{1}^{2}  + x_{2}^{2} =2 \Leftrightarrow \left(x_1 + x_2\right)^2 - 2x_{1} x_{2} = 2.

2. Tìm m để f(x) = (m- 1)x^2 - 2mx + m +1 = 0 có hai nghiệm thỏa điều kiện: \left(2x_{1}  +1\right)\left( 2x_{2}+ 1\right) = 21.

hướng dẫn: khai triển biểu thức ở trên và đưa về dạng S,P.

___________________________________________________________________

Một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức thông dụng

Có rất nhiều cách khác nhau để chứng minh một Bất đẳng thức: biến đổi tương đương, chứng minh bằng cách dùng các BĐT cổ điển như Cauchy, Bunhiakovski, Bernoulli.., quy nạp, phản chứng, dùng hình học.. tuy nhiên ở mức độ tiếp cận với BĐT của lớp 10 ban cơ bản, chúng ta thường chỉ sử dụng hai phương pháp. Một là biến đổi tương đương, hai là chứng minh bằng cách dùng BĐT Cauchy cho 2 số.

Sau đây là một số ví dụ và các bài tương tự để chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.

1. Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương.

Thông thường là biến đổi BĐT cần CM về tổng của các bình phương.

1. Chứng minh rằng \left(1 + a^2 \right)\left(1 + b^2\right) \ge \left(1 + ab\right)^2 \forall a,b \in R

Tất cả các bài toán dạng này có chung một phương pháp là đưa toàn bộ về 1 vế và cố gắng chứng tỏ nó là tổng của các bình phương

\Leftrightarrow 1 + a^2 + b^2 + a^2b^2 - \left(1 + 2ab + \left( ab\right)^2 \right) \ge 0

\Leftrightarrow  a^2 + b^2 - 2ab \ge 0

\Leftrightarrow  \left(a - b\right)^2  \ge 0 (đúng)

vậy \left(1 + a^2 \right)\left(1 + b^2\right) \ge \left(1 + ab\right)^2 \forall a,b \in R

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Những bài có kiểu biến đổi dạng này:

a. a^2 + b\left( 13b + a\right)  \ge 3b\left( a+b\right)  , \forall a,b \in R

bạn biến đổi về dạng : \left(a - b\right)^2 + 9b^2 \ge 0 (đúng – tổng của hai bình phương đương nhiên ko âm)

b. 2x^2 + y^2 + 1 \ge 2x\left( 1-y \right)  ,\forall x,y \in R

Biến đổi về dạng \left(x + y\right)^2 + \left( x - 1\right) ^2 \ge 0

c. 4a^4 - 4a^3 + 2a^2 - 2a + 1 > 0

Biến đổi như sau:

\Leftrightarrow 4a^4 - 4a^3 + a^2  + a^2 - 2a + 1 \ge 0

\Leftrightarrow a^2\left(4a^2 - 4a + 1\right) + \left(a^2 - 2a + 1\right) >0

\Leftrightarrow a^2\left(2a - 1\right)^2  + \left(a-1\right)^2 >0 (đúng)

d. a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca

Nhân 2 vào 2 vế sau đó đưa về các hằng đẳng thức

\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 +2c^2 -2 ab -2 bc -2 ca \ge 0

\Leftrightarrow a^2  - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2  + c^2 -2 ca + a^2 \ge 0

\Leftrightarrow \left(a -  b\right)^2  + \left(b-c\right)^2 + \left(c-a\right)^2 \ge  0 (đúng)

dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Các bài có cùng kiểu chứng minh như vậy:

  • a^ 2 + b^2 + 1 \ge ab + a + b ( khi c = 1 đấy)
  • a^ 2 + b^2 + 4 \ge ab + 2a +2 b ( khi c = 2 đấy)
  • a^ 2 + b^2 + 9 \ge ab -3 a -3 b ( khi c = 3 đấy)
  • a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}

đưa về dạng \left( \sqrt{a} -\sqrt{b}\right)^2 + \left( \sqrt{b} -\sqrt{c}\right)^2 + \left( \sqrt{c} -\sqrt{a}\right)^2 \ge 0 ( đúng)

  • a + b + 1 \ge \sqrt{ab} + \sqrt{a} + \sqrt{b}

Và các bài chứng minh dùng BĐt Cauchy:

1. Chứng minh rằng a + \frac{1}{a} \ge 0 , \forall a > 0

tất nhiên đây là bài toán sơ đẳng nhất nhưng ít nhất các bạn cũgn cần phải biết Cauchy nói về cái gì nên cũng đáng để đọc lắm ( với ban cơ bản thôi)

-CM-

Do a > 0 nên \frac{1}{a} > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số trên ta có:

a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}

\Leftrightarrow a + \frac{1}{a} \ge 2 (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a^2 = 1 \Leftrightarrow a = 1 \left( a > 0\right)

hãy áp dụng cách làm như vậy cho bài toán sau:

a. Cho a, b,c > 0. Chứng minh rằng \left(a + 2\right) \left(b + 3\right)\left(ab + 6\right) \ge 48abc

Giải:

do a,b,c > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số ta có:

a + 2 \ge 2\sqrt{2a}

b + 3 \ge 2\sqrt{3a}

ab + 6 \ge 2\sqrt{6ab}

Nhân từng vế của các BĐT trên ta có:

\left(a + 2 \right) \left(b + 3\right)\left(ab + 6\right) \ge 2\sqrt{2a}2\sqrt{3b}2\sqrt{6ab} = 48ab

Tương tự, Chứng minh các BĐT sau đây:

- \left(a + b\right)\left(b + c\right)\left(c + a\right) \ge 8abc , \forall a,b,c \ge 0

- \left(a + b\right)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4 , \forall a,b > 0

- \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{ab},  \forall  a,b > 0

_________________________________________________________________

Chứng minh một đẳng thức lượng giác

Công thức cơ bản cần nhớ:

sin^2x + cos^2x = 1

tanx = \frac{sinx}{cosx}

cotx = \frac{cosx}{sinx}

tanx. cotx = 1

1 + tan^2x = \frac{1}{cos^2x}

1 + cot^2x = \frac{1}{sin^2x}

Cách nhớ: nhiều bạn k nhớ khi nào là \frac{1}{sin^2x} lúc nào là \frac{1}{cos^2x} thì có thể nhớ như sau: tanx có mẫu là cosx nên vế phải sẽ là \frac{1}{cos^2x}, tượng tự cho cotx, có mẫu là sinx nên vế phải là \frac{1}{sin^2x}

Lời khuyên: khi chứng minh đẳng thức lượng giác bạn phải biết nên bắt đầu từ vế nào? thông thường ta nên bắt đầu từ vế phức tạp hơn. Trong quá trình làm, phải luôn xem vế cần biến đổi đến có những gì? mình cần làm gì thêm? để có hướng sử dụng công thức thích hợp vì lượng giác có rất nhiều công thức.

bài 1. CMR tan^2x - sin^2x = tan^2x sin^2x

CM

VT = tan^2x - sin^2x = \frac{sin^2x}{ cos^2x} - sin^2x

= sin^2x \left(\frac{1}{cos^2x} - 1\right)

= sin^2x \left(\frac{1 - cos^2x}{cos^2x}\right)

= sin^2x \left(\frac{sin^2x}{cos^2x}\right)

= sin^2x tan^2x = VP(đpcm)

2. Chứng minh rằng \frac{cos\alpha}{1 + sin\alpha} + tan\alpha = \frac{1}{cos\alpha}

Suy nghĩ: chắc chắn ta sẽ đi từ Vt sang VP. và theo bạn ta nên sử dụng công thức nào? ở đây ta nhận thấy VP không hề có tan, nhưng vậy bước đầu tiên là phải chuyển tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} sau đó quy đồng. Cứ làm đã rồi tính tiếp.

VT = \frac{cos\alpha}{1 + sin\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha}

 = \frac{cos^2\alpha  + sin\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{cos^2\alpha  + sin^2\alpha+sin\alpha}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{1 + sin\alpha}{cos\alpha\left(1 + sin\alpha\right)}

 = \frac{1}{cos\alpha}(đpcm)

3. Các bài ngòai đề cương( làm thêm). CMR

a. \frac{tanx - sinx}{sin^3x} = \frac{1}{cosx\left(1 +cosx\right)}

b. \frac{1 + cosx}{1 - cosx} -  \frac{1 - cosx}{ 1 + cosx} = \frac{4cosx}{sin^2x}

__________________________________________________________________

Phần cuối: CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN TỌAĐỘ

1. Tìm điểm thỏa điều kiện cho trước.

2. TÌm tọa độ trọng tâm, trung điểm.

3. Các bài toán về tính thẳng hàng, song song.

Đề 1. A(5;3), B(2;-1), C(4;-3).

1. Chứng minh A,B,C lập thành một tam giác.

ta chỉ cần chứng tỏ A,B,C không thẳng hàng là xong

Ta có:\vec{AB} = \left(-3;-4\right) ( từng tọa độ điểmB trừ đi tọa độ điểm A đấy)

\vec{AC} = \left(-1;-6\right)

mặt khác\frac{-3}{-1} \ne \frac{-4}{-6} nên \vec{AB}\vec{AC} không cùng phưong nên A,B,C lập thành một tam giác.

b. Tìm tọa độ D để ACBD là hình bình hành, tìm tọađộ trọng tâm G của OCD.

Gọi D(x,y). Lúc đó ta có:

\left\{\begin{array}{c}{\vec{AC} =\left(-1;-6\right) }\\{\vec{DB} =\left(2-x; -1-y\right)}\end{array}\right.

ACBD là hình bình hành nên \vec{AC} = \vec{DB}. Vậy ta có hệ sau:

\left\{\begin{array}{c}{- 1 = 2-x }\\{-6 = -1-y}\end{array}\right.

hay \left\{\begin{array}{c}{x = 3 }\\{ y = 5}\end{array}\right.

Gọi G là trọng tâm tam giác OCD

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x_{G} = \frac{x{_O} + x{_C} + x_{D}}{3}}\\{ y_{G} = \frac{y{_O} + y{_C} + y_{D}}{3}}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x_G = \frac{7}{3} }\\{ y_G  = \frac{2}{3}}\end{array}\right.

c. Tìm M trên Ox để ABMD là hình thang có hai đáy là AB và MD.

do M \in Ox nên gọi M(x,0).

có: \vec{AB} = \left(-3;-4\right)

\vec{MD} = \left(3 -x;5\right) (điểm D ở câu trên)

Do AB//MD nên ta có \vec{AB}\vec{MD} là hai vectơ cùng phương vậy:

\frac{-3}{3-x} =\frac{-4}{5}

\Leftrightarrow - 15 = -4\left(3-x\right) ( nhân chéo lên đấy)

\Leftrightarrow - 3 = 4x

\Leftrightarrow x = -\frac{3}{4}


Đề thi toán 10

05/04/2009

Đề thi và đáp án toán 10. Xem và tải: tại đây


Đề ôn tập chương 4 đại số 10 nâng cao

29/03/2009

Đề ôn tập chương 4 đại số 10 nâng cao, chuẩn bị cho kiểm tra 1 tiết Đọc tiếp


Follow

Get every new post delivered to your Inbox.