Cm qui nạp – Dãy số – cấp số

Các bài toán quy nạp

Các bước quy nạp:

– Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu. Thông thường là 0 hoặc 1. Tuy nhiên trong một số bài có thể là các giá trị khác.

– Giả sử đúng khi n = k

– Chứng minh đúng với n = k+1

Bài tập: Chứng minh rằng:

a. 1 + 2 + 3 + ...+ n = \frac{n\left(n+1\right)}{2}

b.2 + 5 + 8 + 11  +...+ \left(3n - 1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}

c.3 + 9 + 27  +..+ 3^n =\frac{1}{2}\left(3^{n+1} -3\right)

d.1^2 + 2^2 +..+n^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}

e. 1^2 + 3^2 +..+\left(2n-1\right)^2 = \frac{n\left(4n^2 -11\right)}{3}

f. \left(1 - \frac{1}{4}\right) +\left(1 - \frac{1}{9}\right)+..+\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)= \frac{n+1}{2n}, \forall n \ge 2

g. Với mỗi số nguyên dương n, đặt u_n = 5.2^{3n-2} +3^{3n-1}. Chứng minh rằng u_n luôn chia hết cho 19.

____________________________________________________________

Phần 4. DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ CỘNG

Công thức cần nhớ:

  • Để xét tính tăng hay giảm của dãy số ta xét hiệu u_{n+1} - u_n nếu hiệu này dương,đây là dãy số tăng, ngược lại nếu âm, đây là dãy giảm.
  • Để chứng minh một dãy số là cấp số cộng cần chứng minh u_{n+1} - u_n = d với d là hằng số. Lúc đó d được gọi là công sai.
  • u_n = \left(n-1\right)d
  • u_n = \frac{u_{n+1} + u_{n-1}}{2}
  • Tổng của n số hạng đầu tiên S_n = \frac{n\left(u_1 + u_n\right)}{2}

bài 1.Cho dãy số u_n = 19n -5.

a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên.

b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm u_1 ,d.

c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy.

giải:

u_{n+1} = 19\left(n+1\right) -5=19n +14

ta xét u_{n+1} - u_n = 19n + 14 - \left(19n -5\right) = 19vậy:

a) đây là dãy số tăng do u_{n+1} - u_n >0 \forall n \in N

b) đây là cấp số cộng vì u_{n+1} - u_n = 19 \forall n \in N không đổi và d = 19.

u_1 = 19.1 - 5 = 14

c)  u_{50} = u_1 + 49d = 14 + 49.19 = 945

vậy S_50 = \frac{50\left(u_1 + u_{50}\right)}{2}= \frac{50\left(14 + 945\right)}{2}=23975

Bài 2. Tìm cấp số cộng biết

\left\{\begin{array}{c}{u_1 + u_2 +u_3 =27}\\{u_1^2 +u_2^2 +u_3^2 = 275}\end{array}\right.

Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta có:

\left\{\begin{array}{c}{u_2 = u_1 + d}\\{u_3 = u_1 + 2d}\end{array}\right. thay vào 2 phương trình trên ta có hệ sau đây:

\left\{\begin{array}{c}{u_1 + u_1+d +u_1+2d =27}\\{u_1^2 +\left(u_1+d\right)^2 +\left(u_1 +2d\right)^2 = 275}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{3u_1 + 3d =27}\\{3u_1^2 + 6u_1d +5d^2 = 275}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{u_1 + d=9}\\{3u_1^2 +  6u_1d +5d^2 = 275}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{u_1  =9-d}\\{3\left(9-d\right)^2  + 6\left(9-d\right)d +5d^2 = 275}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{u_1  =9-d}\\{d^2  =16}\end{array}\right.

tới đây có hai giá trị của d là 4 và -4. Vậy có hai giá trị của u_1 = 5 hoặc u_1 = 13

vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện.

Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11… Tìm x biết:

1 + 6 + 11 + 16 +..+x = 970.

bài này ta phải tìm giá trị của x biết rằng x là một phần tử của cấp số cộng. giả thiết cho 970 chính là tổng của n số hạng đầu tiên đấy.

ta nhận thấy cấp số cộng này có u_1 = 1, d=5.

giả sử x là số hạng thứ n(n >0). vậy ta cóx = 1 + 5\left(n-1\right) = 5n -4.

vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có:

S_n = \frac{n\left(u_1 + u_n\right)}{2} =970

\Leftrightarrow \frac{n\left(1 + 5n -4\right)}{2} =970

\Leftrightarrow  5n^2 - 3n = 1940

\Leftrightarrow 5n^2 - 3n - 1940=0

Tới đây tự bấm máy để suy ra n =40 ( do n>0)

vậy x là số hạng thứ 40 nên  x = u_1 + 39d = 1 + 39.5 = 186

bài 4. Viết 5 số hạng xen giữa 25 và 1 để được một cấp số cọng có 7 số hạng. Số thứ 50 của dãy là số mấy?

Bài 5. Cho cấp số cộng với u_{2} = -52,  +u_{51} = -145 Tìm số hạng tổng quát của CSC.

__________________________________________________

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: