Ôn tập lượng giác

Phương trình lượng giác.

1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác. Phương pháp giải là đặt ẩn phụ bằng chính hàm số lượng giác đó. lưu ý nếu đặt t =  sinx hay t = cosx thì |t| \le 1.

a. 2sin^2x + 5sinx - 3 = 0.

Giải:

đặt t = sinx, |t| \le 1.

ta có phương trình:

2t^2 + 5t - 3 = 0

giải phương trình trên ta được:

\left[\begin{array}{c}{t = -3\left(l\right)}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}\right.

vậy với t = \frac{1}{2} ta có :sinx = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow sinx = sin\frac{\pi}{6}

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{x = \frac{\pi}{6} + k2\pi}\\{x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{x = \frac{\pi}{6} + k2\pi}\\{x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi}\end{array}\right.k\in Z

b. cot^23x - cot3x - 2 = 0.

giải:

đặt t = cot3x ( lưu ýở đây không có đều kiện như khi đặt t = sinx hay cosx)

pt \Leftrightarrow t^2 - t - 2 = 0

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{ t= -1}\\{ t = 2}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{ cot3x= -1}\\{ cot3x = 2}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{ 3x= -\frac{\pi}{4} + k\pi}\\{ 3x = arccot2 +k\pi}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{ x= -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3}}\\{ x = \frac{arccot2 }{3}+k\frac{\pi}{3}}\end{array}\right. k\in Z

c. 2cos2x + 2cosx - \sqrt{2} = 0

ở đây có góc 2x và x nên ta sẽ chuyển về góc x bằng cách sử dụng công thức nhân đôi.

\Leftrightarrow 2\left(2cos^2x - 1\right) + 2cosx - \sqrt{2} = 0 ( vì cos2x = 2cos^2x - 1)

\Leftrightarrow 4cos^2x  + 2cosx - \left(2 + \sqrt{2}\right) = 0

đặt t = cosx, |t| \le   1

\Leftrightarrow 4t^2 + 2t -\left(2+\sqrt{2}\right)=0

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{ t = \frac{\sqrt{2}}{2}}\\{ t= -\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.

Do điều kiện |t|\le 1 nên ta chỉ nhận nghiệm t = \frac{\sqrt{2}}{2}

vậy cosx = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow cosx = cos\frac{\pi}{4}

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{x = \frac{\pi}{4}}\\{x = -\frac{\pi}{4}}\end{array}\right.k\in Z

2 Phương trình bậc nhất với sin và cos

Dạng của nó là: asinx + bcosx = c . Phương pháp giải là chi hai vế cho \sqrt{a^2 + b^2}.

a. \sqrt{3} sinx - cosx = 1

Giải:

ở đây a = \sqrt{3}; b = -1 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2}=2, chia hai vế cho 2 ta có:

pt \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sinx - \frac{1}{2}cosx = \frac{1}{2}

lúc đó:

\left\{\begin{array}{c}{\frac{\sqrt{3}}{2} = cos\frac{\pi}{6}}\\{\frac{1}{2} = sin\frac{\pi}{6}}\end{array}\right.

 

vậy ta có phương trình:

sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = sin\frac{\pi}{6}

vậy ta có: \left[\begin{array}{c}{x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6} +k\pi}\\{x-\frac{\pi}{6} =\pi-\frac{\pi}{6} +k\pi}\end{array}\right.

hay \left[\begin{array}{c}{x=2\frac{\pi}{6} +k\pi}\\{x =\pi +k\pi}\end{array}\right. k\in Z

 

b. cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}

cách làm tương tự câu trên, chỉ lưu ý là:

\frac{1}{2}cosx - \frac{\sqrt{3}}{2}sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Leftrightarrow sin\left(\frac{\pi}{6} -x\right)=sin\frac{\pi}{4}

Phần còn lại tự làm nhé.

Khác hơn một chút, xem bài sau đây:

c. 3sin3x - 4 cos3x = 5

a = 3; b =-4 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} =5

Chi hai vế cho 5 ta được:

\frac{3}{5}sin3x - \frac{4}{5}cos3x = 1

đặt \left\{\begin{array}{c}{\frac{3}{5} = cos\alpha}\\{\frac{4}{5}=sin\alpha}\end{array}\right. nên ta có phương trình:

cos\alpha sin3x -sin\alpha cos3x = 1

\Leftrightarrow sin\left(3x - \alpha\right) = 1

\Leftrightarrow 3x - \alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi

\Leftrightarrow 3x  = \frac{\pi}{2} +\alpha + k2\pi

\Leftrightarrow 3x  = \frac{\frac{\pi}{2} +\alpha}{3} + k2\frac{\pi}{3} k \in Z

Chú ý bài này, có khác với 2 bài trên ở chỗ các giá trị sau khi chia không phải là giá trị lượng giác của góc đặc biệt nên ta phải đặt thêm vào góc \alpha.

hoàn toàn tương tự các ví dụ trên, chúng ta có thể dễ dàng giải 2 ví dụ sau đây:

d. 2 sinx + 2cosx - \sqrt{2} = 0

e. 5cos2x + 12 sin2x- 13 = 0

 

3. Phương trình thuần nhất bậc hai.

dạng: asin^2x + bsinxcosx + ccos^2x = 0.

Để giải phương trình dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc hoặc chia 2 trường hợp khác nhau của cosx ( thầy sẽ hướng dẫn lại trong ví dụ)

a. 2sin^2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0

  • nếu cosx =0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

cosx = 0 \Leftrightarrow cos^2x = 0  \Leftrightarrow sin^2x =1 thay vào phương trình trên ta có:
2.1 + 0 – 3.0 – 0 vô lý, vậy cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

  • cosx \ne 0 nên chia hai vế của phương trình cho cos^2x ta có:

 \Leftrightarrow 2\frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{sinx}{cosx} - 3=0 \Leftrightarrow 2tan^2x + tanx - 3=0

 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{c}{tanx = 1 }\\{ tanx= -\frac{3}{2}}\end{array}\right.

 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{c}{x = \frac{\pi}{4} +k\pi }\\{ x= arctan\frac{-3}{2} +k\pi}\end{array}\right. k \in Z

b. 3sin^2 2x + sin2xcos2x + 5cos^2 2x = 2

lưu ý: bài này khác bài trên ở chỗ có số 2 ở vế phải đấy.

pt \Leftrightarrow 3sin^2 2x + sin2xcos2x + 5cos^2 2x = 2\left(sin^2x +cos^2x\right)

\Leftrightarrow 3sin^2 2x + sin2xcos2x + 5cos^2 2x - 2sin^2x -2cos^2x=0

\Leftrightarrow sin^2 2x + sin2xcos2x + 3cos^2 2x =0

* nếu cos2x = 0 \Leftrightarrow 2x =\frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}

lúc đó pt \Leftrightarrow 1=0 nên cosx = 0 k là nghiệm.

* cos2x \ne 0 chia 2 vế co cos^2x, ta được phương trình:

tan^2 2x + tan2x + 3 = 0 , phương trình này vô nghiệm

vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

c. sin^2x + sin2x - 2cos^2x = \frac{1}{2}

chỉ cần quy đồng 2 vế lên, sau đó làm y hệt các bài trên.

d. 2cos^2x - 3\sqrt{3}sin2x - 4sin^2x = -4

\Leftrightarrow 2cos^2x - 3\sqrt{3}2 sinx cosx - 4sin^2x = -4\left(sin^2x + cos^2x\right)

\Leftrightarrow 6cos^2x - 6\sqrt{3} sinx cosx =0

* cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

thay vào phương trình ta thấy 0 = 0 nên x = \frac{\pi}{2} + k\pi là một nghiệm.

* cosx \ne 0

chia hai vế cho cos^2x ta có phương trình:

6 - 6\sqrt{3} tanx = 0\Leftrightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}}

vậy tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} = tan\frac{\pi}{6} nên x = \frac{\pi}{6} + k\pi

Kết luận: phương trình có hai nghiệm x =\frac{\pi}{2} + k\pi hoặc x = \frac{\pi}{6} +k\pi. k \in Z

4. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc

  • sina + sinb = 2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}
  • sina - sinb = 2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}
  • cosa +cosb = 2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}
  • cosa - cosb = -2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}
  • sina.cosb = \frac{1}{2}\left[sin\left(a-b\right) + sin\left(a+b\right)\right]
  • sina.sinb = \frac{1}{2}\left[cos\left(a-b\right) - cos\left(a+b\right)\right]
  • cosa.cosb = \frac{1}{2}\left[cos\left(a-b\right) +cos\left(a+b\right)\right]
  • sin^2x = \frac{1 - cos2x}{2}
  • cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2}

Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:

a. sinx + 2sin3x = -  sin5x

pt \Leftrightarrow sinx + sin5x + 2sin3x = 0

\Leftrightarrow 2sin\frac{x+5x}{2}cos\frac{x-5x}{2} + 2sin3x = 0

\Leftrightarrow 2sin3xcos2x + 2sin3x = 0 ( vì cos2x = cos\left(-2x\right) )

\Leftrightarrow 2sin3x\left(cos2x + 1\right) = 0

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{sin3x =0}\\{cos2x=-1}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{3x =k\pi}\\{2x= \pi + k2\pi}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{x =k\frac{\pi}{3}}\\{x= \frac{\pi}{2} + k\pi}\end{array}\right.

b. cos5xcosx = cos4x

Để ý kỹ bài này nhé, đây là ví dụ về sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng ở trên đấy.

pt \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[cos\left(5x-x\right) + cos\left(5x + x\right)\right] = cos4x

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[cos4x + cos6x\right] = cos4x

\Leftrightarrow \left[cos4x + cos6x\right] = 2cos4x

\Leftrightarrow cos6x = cos4x

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{6x = 4x + k2\pi}\\{6x  = -4x + k2\pi}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{x = k\pi}\\{x  = k\frac{\pi}{5}}\end{array}\right.k \in Z

\Leftrightarrow x =k\frac{pi}{5}k \in Z

c. sin9x - cos6x = sin3x

 \Leftrightarrow sin9x - sin3x - cos6x = 0

 \Leftrightarrow 2cos6xsin3x - cos6x = 0

 \Leftrightarrow cos6x\left(2sin3x - 1\right) = 0

Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc sin3x = \frac{1}{2} = sin\frac{\pi}{6}

d. cos3x + cos5x + cos7x  = 0

gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện nhân tử.

e. cos3xsin2x = cos5xsin4x

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.

f. sin^2 4x + sin^2 3x = sin^2 2x + sin^2x

Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.

lưu ý: sin^2\alpha = \frac{1-cos2\alpha}{2}

pt \Leftrightarrow \frac{1-cos8x}{2} + \frac{1-cos6x}{2} = \frac{1-cos4x}{2} +\frac{1-cos2x}{2}

\Leftrightarrow 1-cos8x + 1-cos6x = 1-cos4x+ 1-cos2x ( bỏ mẫu)

\Leftrightarrow cos8x + cos6x = cos4x + cos2x

Tới đây bạn dùng công thức biến tổng thành tích, xuất hiện nhân tử chung là cosx, chuyển hết về 1 vế, đặt cosx làm nhân tử chung là có thể giải được tiếp rồi. Goodluck!

g. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

pt \Leftrightarrow latex sinx + sin3x + sin2x  = cosx + cos3x + cos2x

\Leftrightarrow 2sin2xcosx + sin2x  = 2cos2xcosx + cos2x ( biến tổng thành tích)

\Leftrightarrow sin2x\left(2cosx + 1\right)  = cos2x\left( 2cosx + 1\right)

\Leftrightarrow \left(2cosx + 1\right)\left(sin2x - cos2x\right)=0

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{cosx = -\frac{1}{2}}\\{sin2x = cos2x}\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}{cosx = cos\frac{2\pi}{3}}\\{tan2x =1}\end{array}\right.

vậy nghiệm của phương trình là

\left[\begin{array}{c}{x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi}\\{x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi}\\{2x  =\frac{\pi}{4} + k\pi}\end{array}\right.

\left[\begin{array}{c}{x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi}\\{x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi}\\{x  =\frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}}\end{array}\right.

_____________________________________________________

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: